Kompleksimuuttujan funktiot (5op)

Osaamistavoitteet

Opintojaksolla tutustutaan kompleksianalyysin perusteisiin lähtien kompleksilukujen määritelmästä ja kurssin aiheet kattavat perustulokset liittyen kompleksimuuttujan funktioiden derivaattaan ja integraaliin. Opintojakson suoritettuaan opiskelija tuntee kompleksiluvut ja niiden peruslaskutoimitukset sekä osaa tulkita niitä geometrisestitunnistaa alkeisfunktiot ja niiden ominaisuudet ja osaa ratkaista alkeisfunktioita sisältäviä yhtälöitäosaa päätellä milloin funktio on analyyttinen esimerkiksi Cauchy-Riemann -yhtälöitä käyttäen ja tietää analyyttisyyden perustavanlaatuisia seurauksiatuntee kompleksisen integraalin käsitteen ja siihen liittyvät perustulokset sekä tietää kuinka näitä käytetään integraalien laskemisessaosaa muodostaa funktion Taylorin tai Laurentin sarjan sekä tutkia näiden suppenevuuttatuntee erikoispisteiden käsitteen ja pystyy luokittelemaan erikoispisteitä osaa tehdä loogisia johtopäätöksiä kurssin aihealueisiin liittyen, esim. osaa todistaa kompleksimuuttujan funktioihin liittyviä tuloksia tai perustella miksi tiettyä tulosta saa käyttää

Sisältö

YdinsisältöKompleksiluvut, peruslaskutoimitukset sekä niiden geometrinen tulkinta. Kompleksiset alkeisfunktiot ja niiden ominaisuudet.Funktion jatkuvuus, derivoituvuus ja analyyttisyys. Cauchy-Riemannin yhtälöt. Kompleksinen integraali ja siihen liittyvät lauseet: Analyysin peruslause, Cauchyn integraalilause, Cauchyn integraalikaava ja deformaatiolause. Taylorin ja Laurentin sarjat ja näiden sovelluksena erikoispisteet ja residylaskenta.Täydentävä tietämysKompleksisten funktioiden visualisointiResidylaskennan soveltaminen reaalisiin integraaleihin.ErityistietämysCauchyn integraalikaavan seurauksia: Liouvillen lause ja analyysin peruslauseSovellukset: Harmoniset funktiot ja/tai konformikuvaus

Esitietovaatimukset

Pakollisina esitietoina Differentiaali- ja integraalilaskenta tai vastaava kurssi reaalimuuttujan funktioiden analyysin perusteista. Erityisesti tarvitaan perustietoja reaalisten funktioiden derivoinnista ja integroinnista. Lisäksi esitiedoiksi suositellaan kussin Usean muuttujan funktiot perustietoja kuten kahden muuttujan funktion havainnollistus graafisesti ja osittaisderivointi.

Lisätiedot

Opintojakso toteutetaan vain lukuvuonna 2025-26.