Analyysin peruskurssi (5op)

Osaamistavoitteet

Opintojakson suoritettuaan opiskelija osaa tulkita ja kirjoittaa reaalilukujen osajoukkoja yhdistettä, leikkausta, erotusta ja komplementtia käyttäen. Opiskelija osaa hahmotella alkeisfunktioiden ja niistä koostettujen yksinkertaisten funktioiden kuvaajia, määrittää niille raja-arvoja, laskea derivaattoja ja tehdä derivaatan avulla johtopäätöksiä funktion kulusta ja ääriarvoista ja tutkia funktion käyttäytymistä raja-arvoja laskemalla. Opiskelija osaa ilmaista kompleksiluvun koordinaatti- ja eksponenttimuodossa, laskea peruslaskutoimituksia molempia esityksiä käyttäen ja siirtyä näiden esitysten välillä, laskea kompleksiluvun juuret ja jakaa reaalikertoimisen polynomin tekijöihinsä. Opiskelija tuntee integraalifunktion ja määrätyn integraalin käsitteet ja osaa laskea perusintegraaleja. Opiskelija osaa esittää ratkaisunsa sekä suullisesti että kirjallisesti.

Sisältö

YdinsisältöJoukkojen yhdiste, leikkaus, erotus ja komplementti. Analyysissä tarvittavan logiikan ja todistamisen esittelyä.Funktion määrittely. Funktion monotonisuus ja käänteisfunktio, yhdistetty funktio.Alkeisfunktioiden perusominaisuuksia. Hyperboliset funktiot ja niiden käänteisfunktiot.Kompleksilukujen summa, erotus, tulo ja osamäärä, liittoluku ja itseisarvo. Siirtyminen koordinaattimuodon a+bi ja napakoordinaatti- eli eksponenttimuodon välillä (Eulerin kaava), laskeminen eksponenttimuotoa käyttäen. Kompleksiluvun juurten haku.Funktion raja-arvo ja jatkuvuus, toispuoleiset raja-arvot ja epäoleelliset raja-arvot, l'Hopitalin sääntö.Derivaatta erotusosamäärän raja-arvona, tulon ja osamäärän derivointi, yhdistetyn funktion derivointi (eli ketjusääntö) ja alkeisfunktioiden derivointi. Funktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen selvittäminen derivaatan avulla.Integraalilaskennan perusteet.Usean muuttujan funktioiden osittaisderivaatat ja gradientti.Täydentävä tietämysAlkukuva, injektiivisyys, surjektiivisuus ja bijektiivisyys. Reaalikertoimisen polynomin nollakohdat ja tekijöihinjako.Jatkuvien funktioiden väliarvolause ja käänteisfunktion jatkuvuus.Käänteisfunktion derivaatta.Sovelluksia, mm. lineaarinen approksimaatio.ErityistietämysDifferentiaalilaskennan väliarvolause.

Esitietovaatimukset

Kurssilla oletetaan lukion pitkän matematiikan asiat tunnetuksi. Näitä asioita kerrataan, mutta ei opeteta uusina asioina. Tarvittaessa voi käydä täydentämässä esitietojaan opintojaksolla MATH.APP.010 Johdatus yliopistomatematiikkaan.

Lisätiedot

Tämä opintojakso kuuluu insinöörimatematiikan SEFI 1-tasolle.